เชื่อหรือไม่เราใช้ไม้บรรทัดวาดเส้นโค้งจากเส้นตรงได้

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

เส้นโค้งเกิดจากเส้นตรง ถ้าลากเส้นตรงเป็นจำนวนมาก ๆ ค่อย ๆ เปลี่ยน ทิศทางไปตามกฎเกณฑ์ที่กำหนดไว้ เส้นตรงเหล่านั้นจะตัดกับเส้นตรง ที่อยู่ ข้างเคียงกันและจะมีเส้นโค้งเส้นหนึ่งเกิดขึ้น ซึ่งจะสัมผัสชุดของเส้นตรงที่ ได้เขียนไว้แต่แรกทุกเส้น ยิ่งเขียนเส้นตรงให้มากขึ้นก็จะแลเห็นเส้นโค้งชัด เจนยิ่งขึ้น ในทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งเช่นนี้ว่า เอนวิโลป(Envelope) ของชุดเส้นตรง หรือเราอาจจะเรียกว่า เส้นขอบ ของชุดเส้นตรงก็ได้ ลองกำหนดเครื่องหมาย x บนกระดาษ ใช้ไม้บรรทัดวางบนกระดาษ ให้ริมข้างหนึ่งผ่านจุดตัดของเครื่องหมาย x แล้วขีดเส้นตรงที่ริมของไม้ บรรทัดอีกด้านหนึ่ง ค่อย ๆ เลื่อนไม้บรรทัดโดยให้ริมหนึ่งผ่าน x เสมอ และขีดเส้นตรง ที่อีกริมหนึ่งของไม้บรรทัด เมื่อหมุนไม้บรรทัดไปจนรอบ x ก็จะได้ชุดเส้นตรงรอบ x ด้วย จะเห็นได้ว่าจะมีวงกลมหนึ่งวงมีศูนย์กลางที่ x และสัมผัสเส้นตรงชุดนี้ทุกเส้น วงกลมนี้ก็คือเส้นขอบ หรือ เอนวิโลป ของเส้นตรงซึ่งอยู่ห่างจาก x เป็นระยะทางเท่ากับความกว้างของไม้บรรทัด นั่นเอง ถ้าลากเส้นตรงสองเส้นมีความยาวเส้นละ 4 นิ้ว และให้ทำมุมต่อกัน เป็นมุมเล็กกว่า 90 องศา แบ่งสเกลบนเส้นทั้งสองออกเป็น 16 ส่วนโดยมี ความยาวส่วนละ 1 นิ้ว บนเส้นหนึ่งเขียนเลข 1, 2, 3,...,16 และ เขียนตัวอักษร ก, ข, ค,...,บ บนอีกเส้นหนึ่ง ใช้เส้นตรงโยงจุด ก และ จุด 16 จุด ข และจุด 15 จุด ค และจุด 14 เช่นนี้ไปจนครบ 16 จุดบน แต่ละเส้น เส้นขอบของเส้นตรงชุดนี้คือเส้นโค้งพาราโบลา

บันไดวนขึ้นเจดีย์มีลักษณะเป็นเส้นโค้งแบบใด

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

เส้นโค้งระบบสามมิติ เส้นโค้งที่กล่าวมาแล้วทั้งหมดเป็นเส้นโค้งอยู่บนพื้นระนาบ อันที่จริง เราพบเส้นโค้งในระบบสามมิติเป็นส่วนใหญ่ เมื่อเรานั่งรถผ่านบริเวณที่เป็นภูเขาสูง จะเห็นถนนที่เลียบภูเขานั้น เป็นเส้นโค้งที่เลี้ยวอ้อมภูเขาไป สถานที่บางแห่งเขาทำบันไดวนรอบสถานที่ ถ้าสังเกตดูราวบันไดจะเห็นเป็นเส้นโค้งที่เลี้ยวไปตามความโค้งของสถานที่นั้น ภายในบ้านหรืออาคารบางแห่งยังมีบันไดวนใช้ขึ้นลงกันอยู่ เส้นโค้งแบบราวบันไดวนนี้เป็นเส้นโค้งบนผิวของทรงกระบอก โดย เส้นโค้งทำมุมกับพื้นราบเท่ากันทุกจุด ทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งนี้ว่า เฮลิกซ์ (helix) เกลียวของตะปูควงหรือเกลียวของสว่านก็มีลักษณะเป็น เส้นโค้งแบบนี้ เส้นโค้งบันไดวนหรือเส้นโค้งเฮลิกซ์นี้ อาจจะเป็นเส้นโค้งที่วนรอบ รูปกรวยก็ได้โดยมีคุณสมบัติว่า เส้นโค้งนี้ทำมุมกับพื้นราบเท่ากันทุกแห่ง การเขียนเส้นโค้งในระบบสามมิตินี้ ต้องใช้เส้นตรงตั้งฉากกันและกัน 3 เส้น ตัดกันที่จุด O เรียกว่าจุดกำเนิด เส้นทั้งสามคือ xox' yoy' และ zoz' ประกอบกันเป็นระนาบ 3 ระนาบ คือ ระนาบ xoy ระนาบ yoz และระนาบ xoz การบอกตำแหน่งของจุด p ใด ๆ ใช้ระยะทางที่จุด P อยู่ห่างจากระนาบ yoz (ระยะทาง x) จากระนาบ xoz (ระยะทาง y) และจากระนาบ xoy (ระยะทาง z) ตำแหน่งของ P คือจุด (x, y, z) เราอาจจะวัด x, y และ z ได้โดยลากเส้นตรงจาก P มาตั้งฉาก กับระนาบ xoy ที่จุด P' ระยะทางที่วัดได้เรียกว่า z จาก P' ลาก เส้นตรงไปตั้งฉากกับแกน y และแกน x จะได้ระยะทาง x และ y ตามลำดับ ในทางคณิตศาสตร์ถ้าจุด P เดินทางไปโดยที่ค่า x, y และ z เป็นฟังก์ ชันของตัวแปรตัวที่สี่เช่น t คือ x = f(t), y = g(t), z = h(t), ทางเดินของจุด P จะเป็นเส้นโค้งเรียกว่า เส้นโค้งอวกาศ (space curve) สมการของบันไดวนรอบรูปทางทรงกระบอกมีแบบเป็น x = r cos t, y = r sin t, z = kt เมื่อ r เป็นรัศมีทรงกระบอก และ k เป็นค่าคงที่

การสร้างรูปทรงของห่วงชูชีพด้วยวงกลมทำได้อย่างไร

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

ผิวโค้ง (Surface) เมื่อเรามองดูสิ่งต่าง ๆ รอบตัว เช่น เครื่องใช้และสิ่งประดิษฐ์ต่าง ๆ หรือของที่เกิดขึ้นเองโดยธรรมชาติ เช่น ผลไม้ ร่างกายของมนุษย์และ ลำต้นไม้ ฯลฯ เราจะเห็นได้ว่าส่วนใหญ่มักจะเป็นลักษณะผิวโค้ง ในทางคณิตศาสตร์ถือว่า ผิวโค้งเกิดจากการที่เส้นตรงหรือเส้นโค้ง เคลื่อนที่ไปอย่างมีกฎเกณฑ์ เช่น ผิวของเปลือกไข่หรือผิวของผลไม้เป็นตัว อย่างของผิวโค้งปิด ส่วนผิวโค้งรูปทรงกรวย ผิวของถังน้ำ ถ้วยแก้ว และภาชนะต่าง ๆ เป็นผิวโค้งเปิด เมื่อหมุนวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่งจะได้รูปทรงกลม แต่ถ้า หมุนวงกลมรอบเส้นตรงเส้นหนึ่งที่อยู่นอกวงกลม แต่ยังคงอยู่ในระนาบ เดียวกันกับวงกลมนั้น ก็จะได้รูปทรงเป็นแบบยางในของรถยนต์หรือห่วงพวง ชูชีพ ผิวเครื่องใช้ต่าง ๆ ภายในบ้าน เช่น แก้ว ถังน้ำ กระโถน หม้อหุงต้ม อาหาร หลอดไฟ ฯลฯ มีลักษณะเป็นผิวโค้งที่เกิดจากการหมุน ระฆังก็มีลักษณะเป็นผิวโค้งที่เกิดจากการหมุนเช่นกัน

เก้าอี้หวายที่มีลักษณะคอคอดสานจากหวายที่มีลักษณะเป็นเส้นตรงได้อย่างไร

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

ผิวโค้งที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของเส้นตรง เราอาจจะสร้างผิวโค้งจากเส้นตรงโดยใช้หลักการที่คล้ายกับการ เขียนเส้นโค้งจากเส้นตรงในระนาบได้ดังนี้ ใช้ไม้อัดหรือแผ่นพลาสติกสามแผ่นรูปจัตุรัสขนาดกว้างด้านละ 6 นิ้ว เจาะรูไม้อัดนี้เป็นแถว ๆ ให้แต่ละแถวห่างกัน 1/4 นิ้ว และในแต่ละแถว ให้รูปห่างกัน 1/4 นิ้ว เช่นเดียวกัน ประกอบไม้อัดหรือแผ่นพลาสติกทั้งสาม แผ่นนี้ให้ตั้งฉากกันและกัน ใช้ด้ายไนลอนสีสอดขึ้นจากรูแถวริมนอกที่สุดของ แผ่นไม้อัดแผ่นล่าง (รูหมายเลข 9) แล้วนำไปสอสดที่รูปล่างสุดของแถว ก ในแผ่นตั้ง ดึงด้ายให้ตึงแล้วสอดเส้นด้ายออกทางรูที่สองนับจากข้างล่างใน แถว ข ของแผ่นตั้งดึงด้ายให้ตึงแล้วสอดเส้นด้ายออกทางรูที่สองนับจาก ข้างล่างในแถว ข ของแผ่นตั้งดึงด้ายให้ตึงแล้วกลับมาสอดลงในแถวนอกที่สุด ในรูปถัดไปทางซ้ายมือของรูแรก (รูหมายเลข 8) และนำด้ายสอดขึ้น จากรูหมายเลข 7 แล้วกลับไปสอดเข้ารูที่ 3 นับจากข้างล่างของแถว ค ของแผ่นตั้ง ทำเช่นนี้เรื่อยไปจนครบทุกรูของแถวนอกของแผ่นล่าง และ ทุกรูในแนวเส้นทแยงมุมของแผ่นตั้ง ชุดของเส้นตรงเหล่านี้จะเรียงกันไป จนดูคล้ายผิวโค้ง ถ้าเจาะรูไม้อัดหรือแผ่นพลาสติกให้ถี่มากขึ้นเท่าใด ลักษณะของเส้นด้ายก็จะเป็นผิวโค้งมากขึ้น โดยใช้หลักการเดียวกันนี้ เราอาจนำไปสร้างแบบแสดงลักษณะของ ผิวโค้งที่เกิดจากเส้นตรงหลายชุด ด้วยการสอดเส้นด้ายให้ออกจากรูปใน แถวหนึ่งของไม้แบบแผ่นล่าง แล้วสอดเส้นด้ายเข้าในแถวทแยงมุมของไม้ แบบแผ่นตั้ง ที่อยู่ทางซ้ายหรือทางขวาก็ได้ ผู้อ่านจะสังเกตวิธีการได้ จากรูปต่อไปนี้ และอาจจะนำไปประดิษฐ์แบบอื่น ๆ ต่อไปอีกได้ เมื่อสังเกตธรรมชาติรอบ ๆ ตัวเรา จะแลเห็นว่าสวนใหญ่มีลักษณะ เป็นผิวโค้งและมีขอบเป็นเส้นโค้ง เราจะแลเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่าง ผิวโค้งและเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์กับธรรมชาติ ธรรมชาติสร้างสิ่งต่าง ๆ อย่างมีระเบียบแลดูสวยงามคล้ายกับมีกฎเกณฑ์กำหนดไว้ การสร้างเส้นโค้ง และผิวโค้งทางคณิตศาสตร์ก็เป็นไปอย่างมีกฎเกณฑ์และวิธีการ ด้วยวิธีการ ทางคณิตศาสตร์เราสามารถหาความยาวของเส้นโค้ง และหาเนื้อที่ของผิว โค้งได้ ตลอดจนสามารถหาปริมาตรรูปทรงที่ผิวโค้งนั้นห่อหุ้มอยู่ มนุษย์สา มารถนำผลจากการศึกษาในเรื่องเหล่านี้ไปใช้ประโยชน์ทั้งในทางวิทยาศาสตร์ ทางศิลปะ ทางการออกแบบ ทำให้ผลิตผลทางหัตถกรรมและศิลปกรรม ดูงดงามยิ่งขึ้น