ความรู้เรื่องสามเหลี่ยมทำให้เราวัดความสูงของต้นไม้แทนการปีนขึ้นไปวัดได้อย่างไร

[ ขยายดูภาพใหยญ่ ]

เราอาจใช้สูตรในวิชาตรีโกณมิติหาระยะทางและความสูง โดยอาศัย ด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม เช่น เราต้องการวัดระยะทางระหว่าง จุดสองจุดบนฝั่งแม่น้ำฝั่งตรงกันข้าม คือ A และ B เป็นจุดสองจุดบนฝั่ง แม่น้ำฝั่งตรงกันข้ามที่เราต้องการวัดระยะทาง สมมุติว่าระยะทาง AB เท่า กับ x เมตร C และ D เป็นจุดซึ่งเราสามารถวัดระยะทางได้ s เมตร บนฝั่งซึ่งเรายืนอยู่ วัดมุม DCB ได้มุม a วัดมุม BCA ได้ มุม a' วัดมุม CDA และ ADB ได้มุม B และ B' ตามลำดับ โดยใช้กฎเกณฑ์ในวิชาตรีโกณมิติเราสามารถแสดงได้ว่า AC = (a sin B) / sin (a+a'+B) และ BC = (a sin (B+B')) / sin (a+B+B') และหาความยาว AB ได้จากสูตร x('2) = AC('2) + BC('2) - 2AB.BC cos a' จากตารางแสดงค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราก็สามารถคำนวณหาระยะ ทาง AB ได้ทันที เราอาจจะประดิษฐ์เครื่องวัดมุมแบบง่าย ๆ ได้ดังนี้ ใช้กระดาษแข็ง หรือไม้อัดก็ได้มาตัดเป็นแผ่นวงกลมรัศมีประมาณ 3 นิ้ว เขียนวงกลมศูนย์ กลางร่วมกันกับวงแรกใช้รัศมี 2(1/2) นิ้ว บนเส้นรอบวงกลมเล็กแบ่งออกเป็น 36 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วนจะปิดมุมที่ศูนย์กลาง 10 องศาเท่ากัน ถ้า ต้องการให้ละเอียดมาก ขึ้นก็ใช้ไม้บรรทัดที่มีการแบ่งมุมเป็นองศาซึ่งเรียกว่า ไม้โพรแทรกเตอร์ แบ่งสเกลบนวงกลมเล็กให้ครบ 360 องศาเลยก็ได้ ใช้เส้นลวดหรือเข็ม เล็ก ๆ ที่สามารถเจาะรูที่ก้นได้สองอัน ใช้เข็มหมุดตรึงก้นเข็มทั้งสองไว้ ตรงจุดศูนย์กลางวงกลมและให้เข็มทั้งสองสามารถหมุนไปได้รอบ ๆ แบบเข็ม นาฬิกา เมื่อจะวัดมุมที่ได้ก็เล็กจากหมุดตรงกลางให้เส้นลวดทั้งสองอยู่ใน แนวที่ต้องการ ก็จะสามารถอ่านมุมระหว่างแนวทั้งสองได้ทันที การวัดมุมในระนาบดิ่ง ได้แก่ การวัดมุมเงยและมุมก้ม เราอาจสร้างเครื่องมือวัดมุมเงยและมุมก้มได้อย่างง่าย ๆ ดังนี้ ใช้ แผ่นกระดาษแข็งตัดเป็นรูปครึ่งวงกลม แบ่งสเกลบนเส้นรอบวงของครึ่ง วงกลมเป็นองศาจาก 0 องศาถึง 180 องศา ใช้หลอดกาแฟตัดให้ยาวกว่า เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมเล็กน้อย ติดหลอดกาแฟนี้กับกระดาษแข็งตามแนว เส้นผ่านศูนย์กลาง หาไม้เล็ก ๆ ทำเป็นเสาตั้งในแนวดิ่ง และติดแผ่นครึ่ง วงกลมกับเสานี้โดยใช้เข็มหมุดหรือตะปูตัวเล็ก ๆ ตรึงแผ่นกระดาษแข็งตรง จุดศูนย์กลางวงกลมกับเสา เพื่อให้แผ่นครึ่งวงกลมสามารถหมุนได้ในแนวดิ่ว รอบเข็มหมุดนั้น เอาด้ายมาผูกที่หัวเข็มหมุดและนำตะปูตัวเล็ก ๆ มาผูกที่ อีกปลายหนึ่งของเส้นด้ายเพื่อให้เส้นด้ายตึงอยู่ในแนวดิ่งเสมอ เมื่อจะวัดมุม เงยหรือมุมก้มเราตั้งเครื่องมือให้เส้นด้ายอยู่ในแนวดิ่งผ่านมุม 90 องศา ของแผ่นครึ่งวงกลมในทิศทางที่ต้องการ ต่อไปก็หมุนแผ่นครึ่งวงกลมแล้วเล็ง ตามหลอดกาแฟไปยังจุดที่ต้องการ อ่านตัวเลขของมุมตามสเกลด้านที่เส้นดิ่ง ผ่านได้ทันที การวัดความสูง โดยใช้เครื่องมือวัดมุมเงยที่กล่าวมาแล้ว เราสา มารถคำนวณหาความสูงของสิ่งต่าง ๆ ได้ เมื่อทราบระยะทางในแนวราบที่ สิ่งนั้น ๆ อยู่ห่างจากตัวเรา เช่น AB เป็นความสูงของสิ่งที่เราต้องการวัด BC เป็นระยะทางในแนวราบที่ AB อยู่ห่างจากจุด C สมมุติว่าวัดระยะทางได้ s เมตร มุม BCA เท่ากับ a เป็นมุมเงยของ AB วัดที่จุด C จากวิชาตรีโกณมิติเราจะได้ความสูงของ AB = stan a เปิดตารางแสดงค่าฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ ก็จะหาความสูง AB ได้ทันที ถ้าเราเลือกจุด C ให้เหมาะสมจนกระทั่งมุมเงย a = 45 องศา ความสูงของ AB ก็จะเท่ากับระยะทาง s เมตรพอดี

ถ้าจะวัดระยะทางที่ยาวมากๆเช่นจากกรุงเทพฯไปกรุงลอนดอนจะทำได้อย่างไร

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

การวัดระยะบนผิวทรงกลม เราทราบกันดีแล้วว่าโลกของเรามีสัณฐานเกือบเป็นทรงกลม มีรัศมี ประมาณ 4,000 ไมล์ การวัดระยะทางสั้น ๆ บนผิวโลกนั้นอาจถือว่าเป็น การวัดบนผิวราบได้ แต่ถ้าจะวัดระยะทางที่ยาวมาก ๆ เช่น จากกรุง เทพ ฯ ไปยังกรุงลอนดอน ประเทศอังกฤษ เป็นการวัดไปบนผิว ของทรงกลม ซึ่งมีวิธีการแตกต่างออกไปจากการวัดบนพื้นราบ ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนผิวทรงกลมไม่ใช่เส้นตรงที่โยง จุดทั้งสองนั้น เพราะถ้าใช้เส้นตรงจุดทั้งสองนั้น เราก็จะต้องเจาะทรงกลม เป็นอุโมงค์เพื่อโยงจุดเหล่านั้น ซึ่งไม่มีใครนิยมทำกัน ทรงกลมเป็นผิวโค้งซึ่งจุดทุกจุดบนทรงกลมจะอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง เป็นระยะทางเท่ากันหมด จุดคงที่นี้อยู่ภายในทรงกลมและเรียกว่า จุดศูนย์ กลางทรงกลม ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงผิวทรงกลมเรียกว่า รัศมีทรงกลม รอยตัดระหว่างทรงกลมกับระนาบจะเป็นวงกลม และจะได้รอยตัดเป็น วงกลมใหญ่ที่สุดเมื่อระนาบนั้นผ่านจุดศูนย์กลางทรงกลม และเรียกวงกลม ใหญ่ที่สุดนี้ว่า วงกลมใหญ่ และเรียกวงกลมอื่น ๆ ว่า วงกลมเล็ก หรือจะ กล่าวอีกอย่างหนึ่งก็ได้ว่า วงกลมเล็กเกิดจากการตัดระหว่างทรงกลมกับระ นาบที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางทรงกลม เมื่อกำหนดจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันแล้ว เราจะเขียนระ นาบให้ผ่านจุดทั้งสามนี้ได้เพียงหนึ่งระนาบเท่านั้น ดังนั้นเมื่อกำหนดจุดสอง จุดบนผิวทรงกลม เราก็จะเขียนระนาบให้ผ่านจุดสองจุดนี้และผ่านจุดศูนย์ กลางทรงกลมด้วยได้เพียงระนาบเดียวเท่านั้น ยกเว้นกรณีที่จุดทั้งสองเป็น จุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง นั่นคือจะมีวงกลมใหญ่เพียงวงเดียวเท่านั้นที่ ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้บนทรงกลม จุดสองจุดบนวงกลมจะแบ่งเส้นรอบวง ออกเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งจะมีความยาวน้อยกว่าอีกส่วนหนึ่ง ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนทรงกลม ก็คือความยาวของ ส่วนที่สั้นกว่าอีกส่วนหนึ่งของวงกลมใหญ่ที่ผ่านจุดทั้งสองนั้น ก็คือคำจำกัด ความของระยะทางบนทรงกลม ตามรูป ระยะทาง A ไปยัง B คือความ ยาวของส่วนของเส้นรอบวงกลม ACB เนื่องด้วยการหาระยะทางต่าง ๆ บนผิวทรงกลม เราวัดจากความ ยาวของส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ และวัดด้วยขนาดของมุมที่ส่วนโค้งของวง กลมนั้นปิดที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้นการบอกระยะทางบนผิวทรงกลมจึง กำหนดด้วยมุมเป็นองศาหรือเรเดียน ความยาวของส่วนโค้งครึ่งวงกลมใด ๆ เท่ากับ 180 องศา หรือ (...) เรเดียน มุมระหว่างวงกลมใหญ่สองวง คือมุมที่ระนาบที่บรรจุวงกลมใหญ่แต่ละ วงกระทำต่อกัน เราเรียกมุมระหว่างวงกลมใหญ่นี้ว่า มุมทรงกลม (Sphericalangle)ถ้า ABA' และ ACA' เป็นวงกลมใหญ่สองวง มุม ระหว่างวงกลมใหญ่ทั้งสองคือมุม BOC โดยที่ BC เป็นส่วนโค้งของวงกลม ใหญ่ ซึ่งเกิดจากระนาบที่ตั้งฉากกับ AA' เราเรียก A และ A' ว่าเป็นขั้ว ของทรงกลม และเรียกวงกลมใหญ่ที่ตั้งฉากกับขั้วของทรงกลมว่า เส้นศูนย์ สูตร วงกลมใหญ่ 3 วงที่ไม่ได้ตัดกันที่จุด ๆ เดียวจะตัดกันถึง 6 จุด ทำ ให้ได้รูปสามเหลี่ยมทรงกลมต่าง ๆ กัน ดังนั้นสามเหลี่ยมทรงกลม ก็คือ สามเหลี่ยมบนผิวทรงกลมซึ่งมีด้านทั้งสามเป็นส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ 3 วงนั่น เอง เรขาคณิตบนทรงกลมแตกต่างจากเรขาคณิตบนพื้นราบ เช่น มุมภาย ในของสามเหลี่ยมบนพื้นราบรวมกันจะเท่ากัน 180 องศาพอดี แต่มุมภาย ในของสามเหลี่ยมทรงกลมรวมกันจะมากกว่า 180 องศา แต่จะน้อยกว่า 540 องศา เป็นต้น

ตำแหน่งต่างๆของตำบลบนโลกเราใช้อะไรเป็นสิ่งกำหนด

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

การบอกตำแหน่งของตำบลต่าง ๆ บนโลก เรากำหนดโดยใช้ตัว เลขค่าละติจูดและลองติจูดของตำบลนั้น วงกลมใหญ่ที่ผ่านขั้วโลกเหนือ ขั้ว โลกใต้และผ่านเมืองกรีนิช ประเทศอังกฤษนั้น เรากำหนดให้มีค่าลองติจูด เท่ากับ 0 องศา และเรียกวงกลมใหญ่ที่ผ่านขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้ว่า เส้นเมอริเดียน เราแบ่งเส้นเมอริเดียนรอบโลกออกเป็น 360 ส่วนเท่า ๆ กัน คือไปทางทิศตะวันออก 180 ส่วน และไปทางทิศตะวันตก 180 ส่วน แต่ละส่วนห่างกัน 1 องศา เช่น กรุงเทพ ฯ มีละติจุด 101 องศาตะวันออก หมายความว่ากรุงเทพ ฯ อยู่เหนือเส้นศูนย์สูตร 14 องศา ถ้าแบ่งส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ของโลก (เช่น เส้นศูนย์สูตร) ซึ่งมี ความยาว 1 องศา ออกเป็น 60 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วนจะปิดมุม 1 ลิปดา (minute) ที่ศูนย์กลางความยาวของส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ 1 ลิปดานี้มีค่าเท่ากับ 6,080 ฟุต เรากำหนดหน่วยความยาว 1 ไมล์ทะเล (nautical mile) เท่ากับ 6,080 ฟุต ซึ่งยาวกว่า 1 ไมล์บก (statute mile) เพราะ 1 ไมล์บกมีความยาวเพียง 5,280 ฟุต เท่านั้น ดังนั้นระยะทางบนเส้นศูนย์สูตรที่ห่างกัน 1 องศา จึงมีความ ยาว 60 ไมล์ทะเล

การวัดระยะทางระหว่างดวงดาวสามารถทำได้อย่างไร

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

ในการวัดระยะทางดาราศาสตร์ ซึ่งเป็นการวัดในระยะที่ไกลมาก ถ้าใช้ หน่วยความยาวเป็นไมล์หรือเป็นกิโลเมตร จะต้องใช้ตัวเลขจำนวนมากเพื่อ บอกระยะทาง ดังนั้นนักดาราศาสตร์จึงคิดหน่วยความยาวาขึ้นใหม่ เรียกว่า หน่วยปีแสง (light year) ระยะทาง 1 ปีแสง คือระยะทางที่แสง เดินทางไปในเวลานาน 1 ปี เราทราบว่าแสงมีความเร็ววินาทีละ 186,000 ไมล์ ดังนั้น ระยะทาง 1 ปีแสง จึงเท่ากับ 5.87 x 10 ('2) ไมล์ การวัดระยะทางที่ไกลมากเช่นนี้ต้องใช้สัญญาณวิทยุ เครื่องมือ ที่ใช้ในการตรวจสอบระยะทาง คือ กล้องโทรทัศน์ วิทยุ (Radio Telescope)