นักสำรวจรังวัดได้นำความรู้ของรูปสามเหลี่ยมไปใช้วัดในการหาพื้นที่ของที่ดินได้อย่างไร

[ ขยายดูภาพใหยญ่ ]

ถ้า a, b และ c แทนความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม และ 2 s แทนความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ 2s = a + b + c เราอาจจะหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้จากสูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = (...) s(s-a)(s-b)(s-c) จากวิชาตรีโกณมิติ พื้นที่ของรูปสามเหลียมมีความสัมพันธ์กับด้านและ มุมของสามเหลี่ยมนั้น เช่น เมื่อทราบความยาวของด้านสองด้านและขนาด ของมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง เราจะได้พื้นที่ของรูปเหลี่ยมจากสูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 1/2 bc sin A = 1/2 ca sin B = 1/2 ab sin C ในเมื่อ a, b, และ c เป็นความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุม A, B และ C ตามลำดับ ที่จริงแล้วถ้าเราทราบค่าของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมเพียง 3 ค่า เท่านั้น เราก็อาจจะคำนวณหาค่าที่เหลืออีก 3 ค่า รวมทั้งค่าของพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยมนั้นได้เสมอ นักสำรวจรังวัดได้นำความรู้นี้ไปใช้ในการหา พื้นที่ของที่ดินที่มีลักษณะต่าง ๆ โดยแบ่งที่ดินนั้นออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลายรูป วัดด้านและมุมของสามเหลี่ยมทุกรูปที่ได้ ก็จะสามารถคำนวณหาพื้นที่ของรูป สามเหลี่ยมทุกรูปได้เมื่อรวมผลลัพธ์ทั้งหมดก็จะได้ขนาดของพื้นที่ที่รังวัดนั้น

สี่เหลี่ยมรูปว่าวต่างกับสี่เหลี่ยมอย่างอื่นอย่างไร

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

รูปหลายเหลี่ยมที่พบกันมากอีกประเภทหนึ่งคือ รูปสี่เหลี่ยมประกอบด้วย สี่ด้านเป็นเส้นตรง รูปสี่เหลี่ยมอาจจำแนกได้เป็นแบบต่าง ๆ กันดังนี้ 1. สี่เหลี่ยมด้านขนาน จะมีด้านที่อยู่ตรงข้ามกันยาวเท่ากัน ขนานกัน 2. สี่เหลี่ยมจัตุรัส มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน และมุมภายในแต่ละมุมเป็นมุมฉาก 3. สี่เหลี่ยมผืนผ้า เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมภายในแต่ละมุมเป็นมุมฉาก 4. สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทั้งสี่มีความยาวเท่ากัน และมุมภาย ในแต่ละมุมไม่เป็นมุมฉาก 5. สี่เหลี่ยมคางหมู เป็นสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันเพียงคู่เดียวเท่านั้น 6. สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า เป็นสี่เหลี่ยมที่ไม่มีด้านคู่ใดขนานกันเลย และด้านทั้งสี่มีความ ยาวไม่เท่ากันทั้งหมด 7. สี่เหลี่ยมรูปว่าว เป็นสี่เหลี่ยมที่มีด้านประชิดยาวเท่ากันสองคู่

ชาวกรีกวาดรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าด้วยวงเวียนกับไม้บรรทัดได้อย่างไร

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

ชาวกรีกในสมัยโบราณได้รู้วิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวน ด้านเป็น 3, 4, 5, 6, 8, 10 และ 15 โดยการใช้เพียงไม้บรรทัด (ซึ่ง ไม่มีการแบ่งสเกล) และวงเวียนเท่านั้น ในปี ค.ศ. 1796 เกาส์ ได้ พบว่าเราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้แต่เพียงไม้บรรทัดกับวง เวียนเท่านั้นได้ เมื่อจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่านั้น เป็น จำนวนเฉพาะซึ่งอยู่ในแบบ n = 2('2)('t) + 1 เมื่อ t เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ จะเห็นได้ว่า ถ้า t = 1 เราได้ n = 5 ถ้า t = 2 ได้ n = 17 ถ้า t = 3 ได้ n = 257 ดังนั้น เราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าด้วยไม้บรรทัดและวง เวียนเท่านั้น เมื่อจำนวนด้านเป็น 5, 17, 257, 65537,...ได้เสมอ แต่เราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่ที่มีจำนวนด้านเป็น 7, 9, 11 และ 13 โดยวิธีนี้ไม่ได้เลย ถ้าให้ a เป็นระยะที่ด้านของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลม และ P เป็นความยาวของเส้นรอบรูป ของรูปหลายเหลี่ยมนั้น พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าจะเท่ากับ 1/2 a P สำหรับรูปที่มี n เหลี่ยมด้านเท่าถ้าให้ b แทนความยาวของแต่ละ ด้านจะได้ P = nb ดังนั้นพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าจะเท่ากับ 1 nab 2 คุณสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าก็คือ แต่ละ ด้านจะปิดมุมที่ศูนย์กลางเท่ากัน สำหรับรูป n เหลี่ยมด้านเท่าก็จะปิดมุม 2(...) n เรเดียนที่ศูนย์กลาง เราอาจแสดงได้ว่าพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับ 1/4 nb('2) cot(...)/n ถ้าเราเพิ่มจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าขึ้นเรื่อย ๆ ไม่สิ้น สุดก็อาจจะแสดงได้ว่า พื้นที่ของวงกลมเท่ากับ (...)r('2) เมื่อ r เป็น รัศมีวงกลม ในบรรดารูปเหลี่ยมทั้งหลายนี้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปเหลี่ยมที่เราคุ้น เคยที่สุด บานหน้าต่าง ประตู เสื่อ ผ้าขาวม้า เตียงนอน หรือ แคร่ ฯลฯ ล้วนมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เมื่อเราขึ้นไปบนที่สูง ๆ จะ แลเห็นทุ่งนากั้นเป็นกระทงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เพราะเราสามารถหาขนาดพื้น ที่ได้ง่าย ลวดลายต่าง ๆ ที่เขาทำบนเสื่อหรือเสื่อน้ำมันก็มักจะเป็นรูป เรขาคณิตของรูปหลายเหลี่ยม ทำให้ดูสวยสดงดงามขึ้น

เราจะตัดกระดาษมาทำกรวยนำที่ปากกว้าง2นิ้วสูง3นิ้วเราต้องใช้พื้นที่กระดาษมากแค่ไหน
[ ขยายดูภาพใหญ่ ]	ถ้าใช้สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว r หน่วย และ h หน่วย และมีความยาวของด้านตรงกันข้ามมุมฉากเท่ากับ l หน่วย หมุนสามเหลี่ยมนี้รอบด้านที่มีความยาว h หน่วย จะได้รูปกรวยซึ่งมีความสูง h หน่วย และมีความสูงเอียง l หน่วย ฐานของกรวยจะเป็นวงกลมมี เส้นรอบยาว 2(...)r หน่วยถ้าผ่ารูปกรวยตามแนวความสูงเอียงแล้วคลี่ ออกจะได้รูปคล้ายพัด พื้นที่ของกรวยจึงเท่ากับ 1/2 x 2 (...)r x l = (...)rl ตารางหน่วย

เราหาพื้นที่ผิวของโอ่งน้ำได้อย่างไร

[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

ในการหมุนเส้นโค้งที่อยู่บนระนาบรอบเส้นตรงคงที่ซึ่งอยู่บนระนาบ เดียวกันนี้ และเส้นตรงคงที่ไม่ตัดเส้นโค้งที่ใช้หมุนเลย จะได้รูปทรงต่าง ๆ ตามลักษณะของเส้นโค้งปัปปุส (Pappus ประมาณ ค.ศ. 400 นักคณิต ศาสตร์ชาวกรีก) ได้สร้างทฤษฎีในการหาพื้นที่ผิวของรูปที่ได้จากการหมุน เรียกกันว่า ทฤษฎีบทของปัปปุส ซึ่งกล่าวว่าพื้นที่ผิวโค้งที่ได้จะมีค่าเท่ากับ ผลคูณของความยาวของเส้นโค้งนั้นกับเส้นรอบวง ซึ่งเกิดจากจุดศูนย์ถ่วง ของเส้นโค้งนั้นหมุนไปรอบเส้นตรงคงที่ เช่น การหมุนเส้นตรงซึ่งมีความ ยาว h หน่วย รอบเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่งซึ่งขนานกับเส้นตรงที่ยาว h หน่วย และอยู่ห่างกันเป็นระยะ r หน่วย ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของเส้นรอบวง กลมซึ่งเกิดจากจุดศูนย์ถ่วงจะยาว 2(...)r หน่วย ความยาวของเส้นที่ หมุนในที่นี้คือ h โดยทฤษฎีของปัปปุส พื้นที่ผิวโค้งที่ได้คือผิวของทรงกระบอกจะ เท่ากับ 2(...)rh ตารางหน่วย ภาชนะเครื่องใช้ในบ้านที่มีลักษณะเป็นรูปทรงที่เกิดจากการหมุน มีเป็น จำนวนมาก เช่น โอ่ง หม้อดิน หม้ออลูมิเนียม คนโท แจกัน ถังน้ำ ขันน้ำ เป็นต้น เราอาจจะหาพื้นที่ผิวของรูปทรงเหล่านี้ได้โดยวิธีทางคณิต ศาสตร์ เพราะเราอาจจะผ่ารูปทรงเหล่านี้ด้วยระนาบที่ผ่านแกนหมุนของรูป ก็จะได้รอยตัดเป็นเส้นโค้งเมื่อหาจุดศูนย์ถ่วงของเส้นโค้งที่เป็นรอยตัดและ ทราบความยาวของเส้นโค้งแล้ว ก็จะหาพื้นที่ผิวทฤษฎีของปัปปุสได้ทันที